Proporciona un ejemplo para cada uno de los siguientes puntos del "Ayuda Memoria". Escribe la ecuación o expresión y, si aplica, su desarrollo o solución.
a) Ecuación Cuadrática (Forma General): \(ax^2 + bx + c = 0\)
Ejemplo: \(2x^2 - 5x + 3 = 0\)
Identificación de coeficientes: \(a=2\), \(b=-5\), \(c=3\).
b) Condición para ser Cuadrática: El coeficiente \(a\) del término \(x^2\) debe ser distinto de cero (\(a \neq 0\)).
Ejemplo que CUMPLE: \(3x^2 + 0x - 1 = 0\). Aquí, \(a=3\). Como \(3 \neq 0\), es una ecuación cuadrática.
Ejemplo que NO CUMPLE: \(0x^2 + 4x - 7 = 0\). Esto se simplifica a \(4x - 7 = 0\). Aquí, \(a=0\), por lo tanto, no es una ecuación cuadrática, sino lineal.
c) Productos Notables:
i. Cuadrado de un Binomio: \((m \pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2\)
Ejemplo Suma: \((x+3)^2\)
Aplicando la fórmula: \(x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)
Ejemplo Resta: \((2y-1)^2\)
Aplicando la fórmula: \((2y)^2 - 2(2y)(1) + 1^2 = 4y^2 - 4y + 1\)
ii. Suma por su Diferencia: \((m+n)(m-n) = m^2 - n^2\)
Ejemplo: \((a+5)(a-5)\)
Aplicando la fórmula: \(a^2 - 5^2 = a^2 - 25\)
d) Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas:
i. Forma \(ax^2 + bx = 0\): Factorizar \(x(ax+b)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2 = -b/a\).
Ejemplo: \(3x^2 - 6x = 0\)
Factor común \(3x\): \(3x(x-2) = 0\)
Primera solución: \(3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\)
Segunda solución: \(x-2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2\)
ii. Forma \(ax^2 + c = 0\): Despejar \(x^2 = -c/a \Rightarrow x = \pm\sqrt{-c/a}\) (si \(-c/a \ge 0\)).
Ejemplo: \(2x^2 - 18 = 0\)
Despejar \(x^2\): \(2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{2} \Rightarrow x^2 = 9\)
Obtener \(x\): \(x = \pm\sqrt{9}\)
Soluciones: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)
e) Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completas:
i. Factorización: Si \(x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)\), donde \(p+q=b\) y \(pq=c\), entonces \(x_1=-p, x_2=-q\).
Ejemplo: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
Buscamos dos números \(p\) y \(q\) tales que \(p+q = -5\) y \(pq = 6\). Los números son -2 y -3.
Factorización: \((x-2)(x-3) = 0\)
Primera solución: \(x-2=0 \Rightarrow x_1=2\)
Segunda solución: \(x-3=0 \Rightarrow x_2=3\)
ii. Fórmula General: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Ejemplo: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
Identificar coeficientes: \(a=1, b=-5, c=6\)
Aplicar fórmula: \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}\)
Simplificar: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)
Primera solución: \(x_1 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Segunda solución: \(x_2 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
f) Discriminante (\(\Delta\)): \(\Delta = b^2 - 4ac\)
Ejemplo: \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
Identificar coeficientes: \(a=1, b=-4, c=4\)
Calcular discriminante: \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0\)
Interpretación: Como \(\Delta = 0\), la ecuación tiene una solución real (o dos soluciones reales iguales).
h) Construcción de una Ecuación Cuadrática a partir de sus Raíces:
Dadas las raíces \(x_1\) y \(x_2\), la ecuación es: \(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0\)
Elegir raíces: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\)
Calcular suma de raíces: \(S = x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7\)
Calcular producto de raíces: \(P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10\)
Formar la ecuación: \(x^2 - Sx + P = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0\)
Para cada una de las siguientes expresiones, desarrolla los productos notables y/o simplifica la expresión hasta su forma más reducida. Luego, indica si la expresión resultante corresponde o no a una ecuación de segundo grado y justifica tu respuesta.
La expresión que NO corresponde a una ecuación de segundo grado es la C) \((3x - 2)^2 = 9x^2 - 1\), ya que al desarrollarla y simplificarla, el término \(x^2\) se cancela, resultando en una ecuación lineal \(-12x + 5 = 0\).
Si la ecuación \((y+2)^2 - (y-1)^2 = 2y^2 - 5\) la escribimos de la forma \(ay^2 + by + c = 0\); ¿Cuál es el valor del coeficiente \(b\)?
Ecuación original: \((y+2)^2 - (y-1)^2 = 2y^2 - 5\)
1. Desarrollamos los cuadrados de binomio:
\((y+2)^2 = y^2 + 2(y)(2) + 2^2 = y^2 + 4y + 4\)
\((y-1)^2 = y^2 - 2(y)(1) + 1^2 = y^2 - 2y + 1\)
2. Sustituimos los desarrollos en la ecuación:
\((y^2 + 4y + 4) - (y^2 - 2y + 1) = 2y^2 - 5\)
3. Eliminamos paréntesis (cuidado con el signo negativo):
\(y^2 + 4y + 4 - y^2 + 2y - 1 = 2y^2 - 5\)
4. Agrupamos términos semejantes en el lado izquierdo:
\((y^2 - y^2) + (4y + 2y) + (4 - 1) = 2y^2 - 5\)
\(0y^2 + 6y + 3 = 2y^2 - 5\)
\(6y + 3 = 2y^2 - 5\)
5. Llevamos todos los términos a un lado para igualar a cero (forma \(ay^2+by+c=0\)):
\(0 = 2y^2 - 6y - 5 - 3\)
\(0 = 2y^2 - 6y - 8\)
O bien: \(2y^2 - 6y - 8 = 0\)
6. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = 2\)
\(b = -6\)
\(c = -8\)
El valor del coeficiente \(b\) es -6.
Respuesta Correcta: B) -6
¿Qué valores deben tener los coeficientes en la ecuación \((k-2)x^2 + (m+1)x + n - 3 = 0\), para que sea de segundo grado?
La forma general de una ecuación de segundo grado es \(ax^2 + bx + c = 0\), donde la condición fundamental es que el coeficiente \(a\) (el que acompaña a \(x^2\)) debe ser distinto de cero (\(a \neq 0\)). Los coeficientes \(b\) y \(c\) pueden tomar cualquier valor real, incluso cero.
En la ecuación dada: \((k-2)x^2 + (m+1)x + (n - 3) = 0\)
1. Identificamos el coeficiente \(a\) de esta ecuación: \(a = (k-2)\).
2. Para que sea una ecuación de segundo grado, se debe cumplir que \(a \neq 0\).
Por lo tanto, \(k-2 \neq 0\).
Despejando \(k\), obtenemos \(k \neq 2\).
3. Los coeficientes \(b = (m+1)\) y \(c = (n-3)\) pueden ser cualquier número real. Esto significa que no hay restricciones para \(m\) ni para \(n\) más allá de que sean números reales.
Entonces, la única condición esencial es que \(k \neq 2\). Los valores de \(m\) y \(n\) pueden ser cualesquiera números reales.
Respuesta Correcta: A) \(k \neq 2\), \(m\) y \(n\) cualquier real.
En la ecuación \(x^2 + 3x - k = 0\) una de sus soluciones es -2, ¿cuál es el valor de \(k\)?
La ecuación dada es \(x^2 + 3x - k = 0\).
Se nos informa que una de sus soluciones es \(x = -2\).
1. Si \(x = -2\) es una solución, significa que al sustituir este valor en la ecuación, la igualdad se debe cumplir.
Sustituimos \(x = -2\) en la ecuación:
\((-2)^2 + 3(-2) - k = 0\)
2. Resolvemos las operaciones:
\(4 - 6 - k = 0\)
3. Simplificamos:
\(-2 - k = 0\)
4. Despejamos \(k\):
\(-k = 2\)
Multiplicamos por -1 ambos lados (o pasamos \(k\) al otro lado):
\(k = -2\)
Por lo tanto, el valor de \(k\) es -2.
Respuesta Correcta: B) -2
¿Qué valor debe tener \(k\) en la ecuación \(x^2 - (k+2)x + (2k-1) = 0\) para que sus raíces sean reales e iguales?
La ecuación dada es \(x^2 - (k+2)x + (2k-1) = 0\).
Para que una ecuación cuadrática tenga raíces reales e iguales, su discriminante (\(\Delta\)) debe ser igual a cero (\(\Delta = 0\)).
Recordemos que \(\Delta = b^2 - 4ac\).
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\) de la ecuación en términos de \(k\):
\(a = 1\)
\(b = -(k+2)\)
\(c = (2k-1)\)
2. Planteamos la condición \(\Delta = 0\):
\(b^2 - 4ac = 0\)
Sustituimos los coeficientes:
\((-(k+2))^2 - 4(1)(2k-1) = 0\)
3. Desarrollamos la expresión:
\((k+2)^2 - 4(2k-1) = 0\)
\((k^2 + 2(k)(2) + 2^2) - (8k - 4) = 0\)
\(k^2 + 4k + 4 - 8k + 4 = 0\)
4. Agrupamos términos semejantes para formar una nueva ecuación cuadrática en \(k\):
\(k^2 + (4k - 8k) + (4 + 4) = 0\)
\(k^2 - 4k + 8 = 0\)
5. Ahora debemos resolver esta ecuación cuadrática para \(k\). Podemos intentar factorizar o usar la fórmula general. Verifiquemos primero el discriminante de esta nueva ecuación (llamémoslo \(\Delta_k\)) para ver si tiene soluciones reales para \(k\).
Para \(k^2 - 4k + 8 = 0\): \(a_k=1, b_k=-4, c_k=8\)
\(\Delta_k = (b_k)^2 - 4(a_k)(c_k) = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16\)
Como \(\Delta_k = -16 < 0\), la ecuación \(k^2 - 4k + 8 = 0\) no tiene soluciones reales para \(k\).
Revisemos el cálculo, es posible que haya un error en el planteamiento o en las opciones. Vamos a verificar el desarrollo del cuadrado y la multiplicación.
Paso 3 nuevamente: \((-(k+2))^2 - 4(1)(2k-1) = 0\)
\((k+2)^2 - 4(2k-1) = 0\)
\(k^2 + 4k + 4 - (8k - 4) = 0\)
\(k^2 + 4k + 4 - 8k + 4 = 0\)
\(k^2 - 4k + 8 = 0\) -> Este resultado es consistente.
Si las opciones son correctas, debe haber un valor de \(k\) que satisfaga la condición. Vamos a probar las opciones en la ecuación \(k^2 - 4k + 8 = 0\) o, mejor, directamente en la condición del discriminante \((k+2)^2 - 4(2k-1) = 0\).
Opción E: \(k=0\) o \(k=8\)
Si \(k=0\): \((0+2)^2 - 4(2(0)-1) = 2^2 - 4(-1) = 4 + 4 = 8\). Como \(8 \neq 0\), \(k=0\) no es solución.
Si \(k=8\): \((8+2)^2 - 4(2(8)-1) = (10)^2 - 4(16-1) = 100 - 4(15) = 100 - 60 = 40\). Como \(40 \neq 0\), \(k=8\) no es solución.
Parece que hay una discrepancia. Revisemos el problema original o las opciones. Asumamos que hubo un error en mi desarrollo y que una de las opciones es correcta. La ecuación para \(k\) es \(k^2 - 4k + 8 = 0\). Si esta ecuación no tiene soluciones reales, entonces no existe un valor real de \(k\) para que la ecuación original tenga raíces reales e iguales, a menos que haya un error en el enunciado del problema o en las opciones proporcionadas.
Vamos a verificar si alguna de las opciones hace que el discriminante de la ecuación original sea cero. La ecuación del discriminante es \(D(k) = k^2 - 4k + 8\). Queremos \(D(k)=0\).
Revisando las opciones dadas en el problema original, la opción E es \(k=0 \text{ o } k=8\). Si el problema original tiene una solución entre esas, mi ecuación \(k^2 - 4k + 8 = 0\) debe ser incorrecta.
Re-evaluación del álgebra: \(a=1, b=-(k+2), c=2k-1\).
\(\Delta = (-(k+2))^2 - 4(1)(2k-1) = (k+2)^2 - 4(2k-1) \(= (k^2 + 4k + 4) - (8k - 4) \(= k^2 + 4k + 4 - 8k + 4 \(= k^2 - 4k + 8\). El álgebra parece correcta. Esto significa que la ecuación \(k^2 - 4k + 8 = 0\) debe tener soluciones reales si una de las opciones A-E es válida. Pero como vimos, \(\Delta_k = -16\), lo que indica que no hay soluciones reales para \(k\).
Esto sugiere que podría haber un error en el enunciado del Ejercicio 6 de la guía original o en sus opciones. Si asumimos que el ejercicio está bien planteado y tiene una solución entre las opciones, debemos encontrar un error en nuestro cálculo del discriminante \(k^2-4k+8\).
Si la respuesta correcta fuera, por ejemplo, E) \(k=0 \text{ o } k=8\), entonces para \(k=0\), \(\Delta\) debería ser 0. \(0^2 - 4(0) + 8 = 8 \neq 0\). Para \(k=8\), \(8^2 - 4(8) + 8 = 64 - 32 + 8 = 32 + 8 = 40 \neq 0\).
Conclusión basada en el desarrollo: No existe un valor real de \(k\) para el cual la ecuación \(x^2 - (k+2)x + (2k-1) = 0\) tenga raíces reales e iguales, ya que la ecuación resultante para \(k\) (\(k^2 - 4k + 8 = 0\)) no tiene soluciones reales. Esto implica que ninguna de las opciones A-E es correcta bajo este análisis.
Nota Importante: Dado que el desarrollo algebraico lleva a que no hay soluciones reales para \(k\), es altamente probable que haya un error en el enunciado original del Ejercicio 6 o en las opciones proporcionadas en la guía. Para fines de esta guía de desarrollo, se muestra el procedimiento correcto. Si se forzara una respuesta de las opciones, indicaría una inconsistencia.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones de segundo grado tiene como soluciones 3 y -7?
Se nos dan dos raíces (soluciones) de una ecuación cuadrática: \(x_1 = 3\) y \(x_2 = -7\).
Podemos construir la ecuación cuadrática usando la fórmula: \(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0\).
1. Calculamos la suma de las raíces (\(S = x_1+x_2\)):
\(S = 3 + (-7) = 3 - 7 = -4\)
2. Calculamos el producto de las raíces (\(P = x_1 \cdot x_2\)):
\(P = 3 \cdot (-7) = -21\)
3. Sustituimos \(S\) y \(P\) en la fórmula de la ecuación:
\(x^2 - (S)x + P = 0\)
\(x^2 - (-4)x + (-21) = 0\)
4. Simplificamos la ecuación:
\(x^2 + 4x - 21 = 0\)
Esta es la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3 y -7.
Comparando con las opciones:
A) \(x^2 + 4x - 21 = 0\) (Coincide)
Respuesta Correcta: A) \(x^2 + 4x - 21 = 0\)
Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, calcula el valor del discriminante (\(\Delta = b^2 - 4ac\)) y, basándote en su valor, indica si la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas, una solución real (o dos soluciones reales iguales), o no tiene soluciones reales (soluciones complejas conjugadas).
a) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)
Ecuación: \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = 2\)
\(b = 5\)
\(c = -3\)
2. Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (5)^2 - 4(2)(-3)\)
\(\Delta = 25 - (-24)\)
\(\Delta = 25 + 24\)
\(\Delta = 49\)
3. Analizamos el valor del discriminante:
Como \(\Delta = 49 > 0\), la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
b) \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
Ecuación: \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = 1\)
\(b = -6\)
\(c = 9\)
2. Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9)\)
\(\Delta = 36 - 36\)
\(\Delta = 0\)
3. Analizamos el valor del discriminante:
Como \(\Delta = 0\), la ecuación tiene una solución real (o dos soluciones reales iguales).
c) \(3x^2 + 2x + 1 = 0\)
Ecuación: \(3x^2 + 2x + 1 = 0\)
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = 3\)
\(b = 2\)
\(c = 1\)
2. Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (2)^2 - 4(3)(1)\)
\(\Delta = 4 - 12\)
\(\Delta = -8\)
3. Analizamos el valor del discriminante:
Como \(\Delta = -8 < 0\), la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas conjugadas).
Determina para qué valores de \(m\), la ecuación \(x^2 - mx + 200 = 0\) tiene:
La ecuación dada es \(x^2 - mx + 200 = 0\).
Identificamos los coeficientes \(a, b, c\) en términos de \(m\):
\(a = 1\)
\(b = -m\)
\(c = 200\)
Calculamos el discriminante (\(\Delta\)):
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4(1)(200) = m^2 - 800\)
a) Dos soluciones reales y distintas
Para dos soluciones reales y distintas, el discriminante debe ser mayor que cero (\(\Delta > 0\)).
\(m^2 - 800 > 0\)
\(m^2 > 800\)
Para resolver esta inecuación, encontramos las raíces de \(m^2 = 800\):
\(m = \pm\sqrt{800} = \pm\sqrt{400 \times 2} = \pm 20\sqrt{2}\)
Aproximadamente, \(20\sqrt{2} \approx 20 \times 1.4142 = 28.284\).
La parábola \(y = m^2 - 800\) abre hacia arriba. Es positiva cuando \(m\) está fuera de sus raíces.
Por lo tanto, \(m < -20\sqrt{2}\) o \(m > 20\sqrt{2}\).
En intervalo: \((-\infty, -20\sqrt{2}) \cup (20\sqrt{2}, +\infty)\)
b) Una solución real (o dos soluciones reales iguales)
Para una solución real (o dos soluciones reales iguales), el discriminante debe ser igual a cero (\(\Delta = 0\)).
\(m^2 - 800 = 0\)
\(m^2 = 800\)
\(m = \pm\sqrt{800} = \pm 20\sqrt{2}\)
Por lo tanto, \(m = 20\sqrt{2}\) o \(m = -20\sqrt{2}\).
c) No tiene soluciones reales (soluciones complejas conjugadas)
Para no tener soluciones reales, el discriminante debe ser menor que cero (\(\Delta < 0\)).
\(m^2 - 800 < 0\)
\(m^2 < 800\)
Esto ocurre cuando \(m\) está entre las raíces de \(m^2 = 800\).
Por lo tanto, \(-20\sqrt{2} < m < 20\sqrt{2}\).
En intervalo: \((-20\sqrt{2}, 20\sqrt{2})\)
Determina el valor de \(k\) para que la ecuación \(kx^2 - (k-5)x + 1 = 0\) tenga sus raíces reales e iguales.
Para que una ecuación cuadrática tenga raíces reales e iguales, su discriminante (\(\Delta\)) debe ser igual a cero.
La ecuación dada es \(kx^2 - (k-5)x + 1 = 0\).
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = k\)
\(b = -(k-5) = 5-k\)
\(c = 1\)
Es importante notar que para que sea una ecuación cuadrática, \(k \neq 0\).
2. Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (5-k)^2 - 4(k)(1)\)
\(\Delta = (25 - 10k + k^2) - 4k\)
\(\Delta = k^2 - 14k + 25\)
3. Igualamos el discriminante a cero (\(\Delta = 0\)) para encontrar los valores de \(k\):
\(k^2 - 14k + 25 = 0\)
4. Resolvemos esta ecuación cuadrática para \(k\) usando la fórmula general \(k = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\), donde \(A=1, B=-14, C=25\):
\(k = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)}\)
\(k = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 100}}{2}\)
\(k = \frac{14 \pm \sqrt{96}}{2}\)
Simplificamos \(\sqrt{96}\): \(\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}\)
\(k = \frac{14 \pm 4\sqrt{6}}{2}\)
\(k = 7 \pm 2\sqrt{6}\)
Los valores de \(k\) son \(k_1 = 7 + 2\sqrt{6}\) y \(k_2 = 7 - 2\sqrt{6}\).
Aproximadamente, \(2\sqrt{6} \approx 2 \times 2.449 = 4.898\).
\(k_1 \approx 7 + 4.898 = 11.898\)
\(k_2 \approx 7 - 4.898 = 2.102\)
Ambos valores de \(k\) son distintos de cero.
5. Comparamos con las opciones dadas:
A) 1 y 25 (Incorrecto)
B) -1 y -25 (Incorrecto)
C) Solo 1 (Incorrecto)
D) Solo 25 (Incorrecto)
Los valores calculados para \(k\) (\(7 + 2\sqrt{6}\) y \(7 - 2\sqrt{6}\)) no coinciden con ninguna de las opciones A, B, C o D.
Conclusión: La respuesta correcta es E) Ninguna de las anteriores.
Determina el valor de \(k\) para que la ecuación \(x^2 + kx + 2k - 3 = 0\) tenga una raíz igual a 2.
Si una raíz de la ecuación es \(x = 2\), entonces al sustituir \(x=2\) en la ecuación, esta debe cumplirse (ser igual a cero).
La ecuación dada es \(x^2 + kx + 2k - 3 = 0\).
1. Sustituimos \(x = 2\) en la ecuación:
\((2)^2 + k(2) + 2k - 3 = 0\)
2. Simplificamos la ecuación:
\(4 + 2k + 2k - 3 = 0\)
3. Agrupamos términos semejantes:
\(4k + 1 = 0\)
4. Despejamos \(k\):
\(4k = -1\)
\(k = -1/4\)
5. Comparamos con las opciones dadas:
A) 1/4 (Incorrecto)
B) -1/4 (Correcto)
C) 4 (Incorrecto)
D) -4 (Incorrecto)
E) Ninguna de las anteriores (Incorrecto, ya que B es correcta)
Conclusión: El valor de \(k\) para que la ecuación \(x^2 + kx + 2k - 3 = 0\) tenga una raíz igual a 2 es \(-1/4\). La respuesta correcta es B) -1/4.
Dada la ecuación \(x^2 + x = 5k\), determina los valores de \(k\) para que la ecuación tenga:
Primero, reescribimos la ecuación en la forma estándar \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x^2 + x - 5k = 0\)
1. Identificamos los coeficientes \(a, b, c\):
\(a = 1\)
\(b = 1\)
\(c = -5k\)
2. Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (1)^2 - 4(1)(-5k)\)
\(\Delta = 1 - (-20k)\)
\(\Delta = 1 + 20k\)
3. Analizamos la naturaleza de las soluciones según el valor del discriminante:
a) Dos soluciones reales y distintas (\(\Delta > 0\)):
\(1 + 20k > 0\)
\(20k > -1\)
\(k > -1/20\)
Para que la ecuación tenga dos soluciones reales y distintas, \(k\) debe ser mayor que \(-1/20\).
b) Una única solución real (\(\Delta = 0\)):
\(1 + 20k = 0\)
\(20k = -1\)
\(k = -1/20\)
Para que la ecuación tenga una única solución real, \(k\) debe ser igual a \(-1/20\).
c) Ninguna solución real (\(\Delta < 0\)):
\(1 + 20k < 0\)
\(20k < -1\)
\(k < -1/20\)
Para que la ecuación no tenga soluciones reales, \(k\) debe ser menor que \(-1/20\).
Resumen de las condiciones para k:
Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 20 cm.
En un triángulo equilátero, todos los lados son iguales y todos los ángulos internos son de 60°.
Sea \(L\) la longitud del lado del triángulo equilátero, en este caso \(L = 20\) cm.
La altura (\(h\)) de un triángulo equilátero divide la base en dos segmentos iguales de longitud \(L/2\) y forma un triángulo rectángulo con un lado \(L\), una base \(L/2\) y la altura \(h\) como el otro cateto.
1. Aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado:
Hipotenusa = \(L\)
Cateto 1 = \(L/2\)
Cateto 2 = \(h\)
Según Pitágoras: \( (L/2)^2 + h^2 = L^2 \)
2. Sustituimos el valor de \(L = 20\) cm:
\( (20/2)^2 + h^2 = 20^2 \)
\( (10)^2 + h^2 = 400 \)
\( 100 + h^2 = 400 \)
3. Despejamos \(h^2\):
\( h^2 = 400 - 100 \)
\( h^2 = 300 \)
4. Calculamos \(h\):
\( h = \sqrt{300} \)
Simplificamos la raíz: \( \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \)
Por lo tanto, \( h = 10\sqrt{3} \) cm.
Alternativamente, se puede usar la fórmula directa para la altura de un triángulo equilátero: \(h = \frac{L\sqrt{3}}{2}\)
\(h = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\) cm.
Si se necesita un valor decimal aproximado: \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
\(h \approx 10 \times 1.732 = 17.32\) cm.
Conclusión: La altura del triángulo equilátero es \(10\sqrt{3}\) cm (aproximadamente 17.32 cm).
Averigua la base y el área de un rectángulo cuya diagonal mide 30 cm y su altura es de 15 cm.
Sea \(b\) la base del rectángulo, \(h_{rect}\) la altura del rectángulo y \(d\) la diagonal.
Datos proporcionados:
Diagonal (\(d\)) = 30 cm
Altura (\(h_{rect}\)) = 15 cm
La diagonal, la altura y la base de un rectángulo forman un triángulo rectángulo, donde la diagonal es la hipotenusa.
1. Aplicamos el Teorema de Pitágoras para encontrar la base (\(b\)):
\(b^2 + h_{rect}^2 = d^2\)
\(b^2 + (15)^2 = (30)^2\)
\(b^2 + 225 = 900\)
2. Despejamos \(b^2\):
\(b^2 = 900 - 225\)
\(b^2 = 675\)
3. Calculamos \(b\):
\(b = \sqrt{675}\)
Simplificamos la raíz: \(\sqrt{675} = \sqrt{225 \times 3} = \sqrt{225} \times \sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)
Por lo tanto, la base \(b = 15\sqrt{3}\) cm.
Si se necesita un valor decimal aproximado para la base: \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
\(b \approx 15 \times 1.732 = 25.98\) cm.
4. Calculamos el área del rectángulo (\(A\)):
El área de un rectángulo es \(A = \text{base} \times \text{altura}\).
\(A = b \times h_{rect}\)
\(A = (15\sqrt{3}) \times 15\)
\(A = 225\sqrt{3}\) cm².
Si se necesita un valor decimal aproximado para el área:
\(A \approx 225 \times 1.732 = 389.7\) cm².
Conclusión:
Halla dos números cuya diferencia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 74.
Sean los dos números \(x\) e \(y\).
Según el enunciado, tenemos dos condiciones:
1. La diferencia de los dos números es 2:
\(x - y = 2\) (Ecuación 1)
Podemos expresar \(x\) en términos de \(y\): \(x = y + 2\)
2. La suma de sus cuadrados es 74:
\(x^2 + y^2 = 74\) (Ecuación 2)
3. Sustituimos la expresión de \(x\) de la Ecuación 1 en la Ecuación 2:
\((y + 2)^2 + y^2 = 74\)
4. Expandimos y simplificamos la ecuación:
\((y^2 + 4y + 4) + y^2 = 74\)
\(2y^2 + 4y + 4 = 74\)
5. Llevamos todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática:
\(2y^2 + 4y + 4 - 74 = 0\)
\(2y^2 + 4y - 70 = 0\)
6. Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por 2:
\(y^2 + 2y - 35 = 0\)
7. Resolvemos la ecuación cuadrática para \(y\). Podemos factorizar o usar la fórmula general.
Buscamos dos números que multiplicados den -35 y sumados den 2. Estos números son 7 y -5.
\((y + 7)(y - 5) = 0\)
Esto nos da dos posibles valores para \(y\):
\(y_1 + 7 = 0 \Rightarrow y_1 = -7\)
\(y_2 - 5 = 0 \Rightarrow y_2 = 5\)
8. Encontramos los valores correspondientes de \(x\) usando \(x = y + 2\):
Si \(y_1 = -7\):
\(x_1 = -7 + 2 = -5\)
Los números son -5 y -7. Verifiquemos: Diferencia: \(-5 - (-7) = -5 + 7 = 2\). Suma de cuadrados: \((-5)^2 + (-7)^2 = 25 + 49 = 74\). Esta solución es válida.
Si \(y_2 = 5\):
\(x_2 = 5 + 2 = 7\)
Los números son 7 y 5. Verifiquemos: Diferencia: \(7 - 5 = 2\). Suma de cuadrados: \((7)^2 + (5)^2 = 49 + 25 = 74\). Esta solución también es válida.
Conclusión: Los dos números son 5 y 7 o -5 y -7.
Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nueve veces más grande.
Sea \(r\) el radio original del círculo en cm.
El área original del círculo (\(A_1\)) es \(A_1 = \pi r^2\).
Si aumentamos el radio en 6 cm, el nuevo radio (\(r'\)) es \(r' = r + 6\) cm.
El área del nuevo círculo (\(A_2\)) con radio \(r'\) es \(A_2 = \pi (r')^2 = \pi (r+6)^2\).
Según el enunciado, el área nueva es nueve veces más grande que el área original:
\(A_2 = 9 \times A_1\)
1. Sustituimos las expresiones de las áreas en la ecuación:
\(\pi (r+6)^2 = 9 \times (\pi r^2)\)
2. Como \(\pi\) es un factor común en ambos lados y \(\pi \neq 0\), podemos dividir ambos lados por \(\pi\):
\((r+6)^2 = 9r^2\)
3. Expandimos el término \((r+6)^2\):
\(r^2 + 12r + 36 = 9r^2\)
4. Llevamos todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática:
\(0 = 9r^2 - r^2 - 12r - 36\)
\(0 = 8r^2 - 12r - 36\)
Podemos escribirla como: \(8r^2 - 12r - 36 = 0\)
5. Simplificamos la ecuación dividiendo todos los términos por el máximo común divisor, que es 4:
\(2r^2 - 3r - 9 = 0\)
6. Resolvemos la ecuación cuadrática para \(r\) usando la fórmula general \(r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), donde \(a=2, b=-3, c=-9\):
\(r = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)}\)
\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - (-72)}}{4}\)
\(r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}\)
\(r = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4}\)
\(r = \frac{3 \pm 9}{4}\)
7. Obtenemos dos posibles valores para \(r\):
\(r_1 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
\(r_2 = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5\)
8. Analizamos las soluciones:
Dado que el radio de un círculo debe ser una longitud positiva, \(r = -1.5\) cm no es una solución válida en este contexto.
Por lo tanto, el radio original del círculo es \(r = 3\) cm.
9. Verificación:
Radio original \(r = 3\) cm. Área original \(A_1 = \pi (3)^2 = 9\pi\) cm².
Nuevo radio \(r' = r + 6 = 3 + 6 = 9\) cm.
Nueva área \(A_2 = \pi (9)^2 = 81\pi\) cm².
Comprobamos si \(A_2 = 9 A_1\):
\(81\pi = 9 \times (9\pi)\)
\(81\pi = 81\pi\). La condición se cumple.
Conclusión: El radio original del círculo es 3 cm.